Дональд Р. ван Девентер (Donald R. van Deventer) 8 сентября 2009 г.1
Мы получили большое количество отзывов на Части 1-4 нашего цикла статей о сглаживании кривой доходности при помощи метода Нельсона-Зигеля и с использованием сплайнов. Благодаря вашим письмам, мы ещё раз пристально изучили последние публикации на эту тему. В частности, мы открыли для себя подлинную жемчужину: обзорную статью профессора Чикагского университета Джеффри Р. Греко (Jeffrey R. Greco), полную версию которой мы с его разрешения воспроизводим ниже. Мы также обнаружили большое количество статей, которые заявляют и пытаются объяснить, почему метод X сглаживания кривой доходности лучше, чем метод Y, не приводя при этом никакого математического доказательства своим утверждениям. В этой заметке мы покажем правильный способ делать подобные заявления.
Судить он том, какая из двух технологий сглаживания кривой доходности является «лучшей» – это совсем не то же самое, что быть судьёй на конкурсе артистов балета или на финале конкурса Мисс Вселенная или Мистер Вселенная. Не дав чёткой формулировки критерия «лучшести», пытаться определить лучший из двух взаимоисключающих подходов есть пустая трата бумаги и чернил. В первой статье Адамса и ван Девентера за 1994 г. (с поправками ван Девентера и Имаи, 1996), определение гладкости было дано математически, и только затем наилучший метод сглаживания был выведен математически – а не путём словесной полемики – используя теорему Олдрича Васичека (Oldrich Vasicek). Обзорная статья Джеффри Греко, которую мы воспроизводим ниже, обсуждает этот процесс как для непрерывного, так и для дискретного определения гладкости.
В случаях, когда исходные данные содержат очевидные ошибки или противоречия, такие, что идеальная подгонка кривой к этим данным либо невозможна, либо нежелательна, статья проф. Греко объясняет, как математически определить функцию, которая достигает разумного компромисса между гладкостью кривой форвардного курса и ошибкой в калькуляции цены ценной бумаги. Метод, описываемый Греко, может быть применён к любому определению слова «лучший», например:
самый гладкий непрерывный форвардный курс при заданных произвольных граничных условиях на левом (ближайшая дата выплаты) или правом (самая удалённая во времени дата выплаты) краях кривой доходности;
- самый гладкий дискретный форвардный курс;
- самая гладкая непрерывная кривая доходности с нулевым купоном;
- самая гладкая дискретная доходность с нулевым купоном;
- самая гладкая непрерывная цена облигации с нулевым купоном;
- самая гладкая дискретная цена облигации с нулевым купоном;
- минимальная ошибка в калькуляции цен (этот критерий зачастую не приводит к единственно возможному ответу, в особенности в тех случаях, когда в данных присутствуют ошибки или спрэд между ценами продавца и покупателя);
- комбинация минимальной ошибки в калькуляции цен с одним из других критериев, как проф. Греко показывает в Приложении Б.
Как только критерий «лучшести» задан, вопрос, какой из методов лучше, X или Y, не подлежит обсуждению (за исключением тех случаев, когда критерий «лучшести» не приводит к единственно возможному наилучшему решению). Как мы знаем из Адамса и ван Девентера (1994 г.) с поправками ван Девентера и Имаи (1996 г.), существует единственно возможная функциональная форма кривой форвардного курса, обладающая максимальной гладкостью, вне зависимости от граничных условий на левом и правом краях кривой. ЛЮБАЯ альтернатива – скажем, кривая, полученная методом X – при тех же граничных условиях будет менее гладкой, что может быть подтверждено подсчётом и сравнением гладкостей кривых, полученных методом X и методом максимальной гладкости.
Для любого определения «лучшести» процедура остаётся той же самой. Выведите функциональную форму «лучшей» кривой, соответствующей вашему определению. Затем, математически сравните значения вашей меры «лучшести» для только что выведенной вами функциональной формы и для альтернативного ей метода Y и подтвердите ожидаемое – что метод Y уступает полученной вами функциональной форме согласно вашему же определению.
Любая другая форма дискуссии о том, лучше ли метод A, чем метод B, есть ни что иное, как финансовый эквивалент судейства на конкурсе Мисс Вселенная или Мистер Вселенная. Мы не настолько глупы, мы способны на большее.
Именно это проф. Греко демонстрирует в конспекте своей лекции по курсу о производных финансовых инструментах с постоянным доходом (программа по финансовой математике, Чикагский университет). По моему мнению, конспект проф. Греко представляет собой самое хорошее где-либо опубликованное описание основ сглаживания кривых доходности. Мы считаем, что этот конспект подлежит изучению всеми благоразумными финансовыми аналитиками, которым приходится работать с кривыми доходности. Заметки проф. Греко приводятся нами с его согласия в Приложении Б. Приложение А повторяет библиографию, уже приведённую в 1-й части нашего цикла статей.
Мы всегда будем рады услышать ваши комментарии и предложения. Присылайте их на адрес электронной почты info@kamakuraco.com
Версия для печати в PDF формате
Дональд Р. ван Девентер
Kamakura Corporation
Гонолулу, 8 сентября 2009 г.
ПРИЛОЖЕНИЕ А
Самые ценные первоисточники на тему сглаживания кривой доходности
Кеннет Дж. Адамс и Дональд Р. ван Девентер, 1994, Подгонка кривых доходности и форвардных курсов с максимальной гладкостью, Журнал фиксированного дохода, июнь 1994 г., стр. 52-62 [Kenneth J. Adams and Donald R. van Deventer, 1994, Fitting Yield Curves and Forward Rate Curves with Maximum Smoothness, The Journal of Fixed Income, June 1994, 52-62].
Банк международных расчётов, валютно-экономический отдел, Кривая доходности с нулевым купоном: техническая документация, 2005 г. [Bank for International Settlements, Monetary and Economic Department, “Zero Coupon Yield Curves: Technical Documentation,” 2005].
Марк Буоно, Рассел Б. Грегори-Аллен, и Узи Яари, Эффективность методик оценки временных структур: исследование методом Монте-Карло, Журнал фиксированного дохода 1 (1992 г.), стр. 52-59 [Mark Buono, Russell B. Gregory-Allen, and Uzi Yaari, The Efficacy of Term Structure Estimation Techniques: A Monte Carlo Study, The Journal of Fixed Income 1 (1992), 52-59].
Дамир Филипович, Заметка о подходе Нельсона-Зигеля, Математические финансы, октябрь 1999 г., стр. 349-359 [Damir Filipovic, “A Note on the Nelson-Siegel Family,” Mathematical Finance, October 1999, pp. 349-359].
Ф. Б. Хильдебранд, Введение в числовой анализ, Издательский дом Dover Publications Inc., Нью-Йорк, 1987 г. [F. B. Hildebrand, Introduction to Numerical Analysis, Dover Publications Inc., New York, 1987].
Дж. Хастон МакКуллох, Кривая доходности с поправкой на налоги, Финансовый журнал 30 (1975 г.), стр. 811-829 [J. Huston McCulloch, The Tax Adjusted Yield Curve, Journal of Finance 30 (1975), 811-29].
Чарльз Р. Нельсон и Эндрю Ф. Зигель, Экономное моделирование кривых доходность, Журнал бизнеса, том 60, номер 4, (октябрь 1987 г.), стр. 473-489 [Charles R. Nelson and Andrew F. Siegel, Parsimonious Modeling of Yield Curves, The Journal of Business, Vol. 60, No. 4. (Oct. 1987), pp. 473-489].
П. М. Пентер, Сплайны и вариационные методы, Издательский дом John Wiley & Sons, Нью-Йорк, 1989 г. [P. M. Penter, Splines and Variational Methods, John Wiley & Sons, New York, 1989].
Х. Р. Шварц, Численные методы: исчерпывающее введение, 1989 г. [H. R. Schwartz, Numerical Methods: A Comprehensive Introduction, John Wiley & Sons, New York, 1989].
Гари С. Шэй, Оценка временнóй структуры посредством экспоненциальных сплайнов, Финансовый журнал 40 (1985 г.), стр. 319-325 [Gary S. Shea, Term Structure Estimation with Exponential Splines, Journal of Finance 40 (1985), 319-325].
Дональд Р. ван Девентер и Кенджи Имаи, Искусство анализа финансового риска: подход к модели временнóй структуры в банковском деле, страховании и управлении инвестициями, Издательский дом Irwin Professional Publishing, Чикаго, 1997 [Donald R. van Deventer and Kenji Imai, Financial Risk Analytics: A Term Structure Model Approach for Banking, Insurance, and Investment Management, Irwin Professional Publishing, Chicago, 1997].
Дональд Р. ван Девентер, Кенджи Имаи и Марк Меслер, Продвинутые методы управления финансовым риском, Издательский дом John Wiley & Sons, 2004. Переведено на современный китайский язык и опубликовано издательским домом China Renmin University Press, Пекин, 2007. Обратите особое внимание на главы 8 и 18. [Donald R. van Deventer, Kenji Imai, and Mark Mesler, Advanced Financial Risk Management, John Wiley & Sons, 2004. Translated into modern Chinese and published by China Renmin University Press, Beijing, 2007. See especially chapters 8 and 18].
Олдрич Васичек и Ч. Гиффоррд Фонг, Моделирование временнóй структуры с использованием экспоненциальных сплайнов, Финансовый журнал 37 (1982 г.), стр. 339-356 [Oldrich A. Vasicek and H. Gifford Fong, Term Structure Modeling Using Exponential Splines, Journal of Finance 37 (1982), 339-56].
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
Профессор Джеффри Р. Греко
Конспект лекции по курсу о производных финансовых инструментах с постоянным доходом
Программа по финансовой математике
Чикагский университет
(начало на следующей странице)