Метод сплайнов доминирует в компьютерной анимации и других приложениях, где необходимо проводить линии, соединяющие две или больше точек. Хорошо известно, что самая гладкая линия, соединяющая произвольный набор точек – это кубический сплайн, серия кубических функций, связанных таким образом, что они гладко переходят друг в друга в каждой заданной «узловой» точке. Используя методы вариационного исчисления, можно доказать, что ни одна другая функциональная форма не способна произвести более гладкой линии.

При использовании в финансах, тот факт, что кривая доходов – гладкая, необходим, но не достаточен для высококачественного сглаживания кривой доходности. Также очень важно, чтобы кривая форвардного курса была разумной и правдоподобной. Ранние критики использования кубических сплайнов для сглаживания кривой доходности выдвигали аргумент, что метод сплайнов не может быть с успехом применён в финансах, поскольку он часто приводит к негладкими и, следовательно, неправдоподобным кривым форвардного курса. Ван Девентер и Адамс, используя доказательство Олдрича Васичека, напрямую ответили на эту критику, выведя функциональную форму, которая даёт самую гладкую кривую форвардного курса, согласующуюся с фактическими данными.

Оказывается, что самая гладкая кривая форвардного курса, которую только можно нарисовать, – это серия сплайнов четвёртого порядка, гладко соединённых в каждой узловой точке или точке данных. Доказательство Васичека, которое показывает, что эта функциональная форма является самой гладкой кривой форвардного курса, также использует вариационное исчисление. Полученная таким образом кривая форвардного курса является самой гладкой, которую только можно нарисовать и зависит от ограничений, наложенных пользователем на значения первой и/или второй производной форвардного курса на левом и правом краях графика, то есть на отрезках, соответствующих самому короткому и самому длинному срокам выплат.

К поиску более продвинутых технологий сглаживания Адамса и ван Девентера побудили жалобы от участников рынков по поводу того, что существующие технологии, в том числе метод Нельсона-Зигеля, не были пригодны к использованию на рынке японских государственных облигаций – где торговля протекала в основном по облигациям одного выпуска, самой дешевой на рынке успешных фьючерсных контрактов.

В этой статье мы рассматриваем данные по облигациям федерального займа Российской Федерации, уже использованные в нашей статье от 14 августа 2009 г., озаглавленной «Сглаживание кривой доходности: Нельсон-Зигель против сплайновых методик, Часть 2». Эти данные включают в себя цены на четыре облигации, так что теоретически мы могли бы использовать каждый из четырёх сроков платежей плюс время 0 и «длинный» срок платежа Т для подгонки функции максимальной гладкости форвардного курса, используя 5 сегментов четвёртого порядка для кривой форвардного курса: сегмент от времени 0 до первого срока платежа, сегмент от первого до второго срока платежа, и т.д.

Несмотря на то, что обычно для N точек принято использовать N+1 сегментов, это не является обязательным. На практике довольно часто используется меньшее количество сегментов, чем N+1, например, если наблюдается «шум» в спрэдах между ценами продавца и покупателя, недостаток синхронности в котировках, и т.д. В этой статье мы используем два сплайновых сегмента, чтобы подогнать кривую максимальной гладкости форвардного курса.

Для обоих сегментов, которые мы подгоняем, кривая максимальной гладкости форвардного курса f будет иметь следующую форму:

Процесс вычисления кривой с максимальной гладкостью следующий:



Заметьте, что ограничение на правом краю кривой доходности, упомянутое в пункте 4г, как правило, определяется специалистом по финансовому анализу в зависимости от характера кривой доходности. Часто встречаются граничные условия на первую или вторую производную кривой форвардного курса, которым на правом краю кривой присваивается значение ноль. Как отмечено в части 2 нашего цикла статей, Тибор Яноши из Корнельского университета предложил ограничение на значение первой производной кривой форвардного курса на правом краю, x, такое, что выбор оптимального значения x должен приводить к максимальной гладкости этой кривой. В этом примере мы произвольно ограничили значение первой производной кривой форвардного курса на её правом краю, f' (3.6802) = 0.

Следующая таблица содержит данные для матрицы линейных ограничений для нашего примера и соответствующую ей обратную матрицу после завершения процедуры оптимизации:

Кривая форвардного курса, полученная посредством выполнения вышеприведённых пунктов, показана ниже. Выравнивание кривой форвардного курса на правой стороне графика согласуется с наложенными нами граничными условиями.

Ниже, мы приводим значения доходностей при нулевом купоне после заключительной итерации процесса максимизации гладкости форвардного курса:

Как мы видим, сумма квадратичных ошибок при калькуляции цен на рассматриваемые нами три облигации равняется нулю с точностью до 11-го знака после запятой. Коэффициенты a,b,c, и e для каждого из сегментов сплайновой кривой форвардного курса даются в приведённой нами таблице.

Рассмотренный нами пример продемонстрировал процесс подгонки функции форвардного курса с максимальной гладкостью к данным о стоимости облигаций, используя две узловые точки. В условиях управления крупными объёмами риска, такие расчёты обычно производятся с использованием высококачественных систем управления риском в масштабах предприятия. Подчеркнём, что метод максимальной гладкости форвардного курса постоянно используется в системах управления риском с 1992 г. Он с достоинством выдержал испытание временем.

В 4-й части нашего цикла статей мы сравним надёжность и устойчивость метода Нельсона-Зигеля с методом максимальной гладкости для того, чтобы уяснить, где разница между этими двумя методами наиболее значительна. Как уже объяснялось во введении, метод максимальной гладкости форвардного курса всегда будет (а) иметь ошибки в калькуляции цен, которые не превышают ошибки метода Нельсона-Зигеля и (б) будет производить более гладкую кривую форвардного курса при заданных граничных условиях на левом и правом краях шкалы времени. В 4-й части, мы исследуем эти различия более подробно.

¹Перевод на русский Александра и Луизы Тельновых
²Donald R. van Deventer, Kenji Imai, and Mark Mesler, Advanced Financial Risk Management, John Wiley & Sons, 2004

Версия для печати в PDF формате

Шон Кляйн и Дональд Р. ван Девентер
Kamakura Corporation
Гонолулу, 17 августа 2009 г.